O poszukiwaniach najlepszego wykładnika
Abstrakt
zmiennej sup_{x\in [-1,1]}|p'(x)|\leq (\deg p)^2 sup_{x\in [-1,1]}|p(x)|.
Ponadto wykładnik 2 w tej nierówności jest najlepszy możliwy. Nierówność ta
i jej uogólnienia nadal stanowiąca przedmiot zainteresowania matematyków.
Zaprezentujemy wybrane wyniki badań dotyczących wielowymiarowej
nierówności Markowa i stycznej nierówności Markowa. W szczególności podamy
przykłady zbiorów, które spełniają jedną z tych nierówności z optymalnym
wykładnikiem.
Searching for the best exponent
In 1889 A. Markov proved that for every polynomial p in one variable
sup_{x\in [-1,1]}|p'(x)|\leq (\deg p)^2 sup_{x\in [-1,1]}|p(x)|. Moreover the
exponent 2 in this inequality is the best possible. Markov's inequality and its
generalizations are still the subject of many investigations. We present some
results of research on the multivariate Markov inequality and tangential
Markov inequality. We give examples of sets that admit one of these
inequalities with sharp exponent.
Bibliografia
M. Baran, "Bernstein Type Theorems for Compact Sets in R^n Revisited", J. Approx. Theory 79(1994), nr 2, 190-198.
M. Baran, "New approach to Markov inequality in L^p norms", Approximation Theory, Monogr. Textbooks Pure and Applied Mathematics, vol. 212, Marcel Dekker, Inc., New York-Basel-Hong Kong, 1998, 75-85, (in memory of A. K. Varma).
M. Baran, L. Białas-Cież, B. Milówka, "On the Best Exponent in Markov Inequality", Potential. Anal. 38(2013), nr 2, 635-651.
M. Baran, B. Milówka, P. Ozorka, "Markov's property for kth derivative", Ann. Polon. Math. 106(2012), 31-40.
M. Baran, W. Pleśniak, "Markov's exponent of compact sets in C^n, Proc. Amer. Math. Soc. 123(1995), nr 9, 2785-2791.
M. Baran, W. Pleśniak, "Bernstein and van der Corput-Schaake type inequalities on semialgebraic curves", Studia Math. 125(1997), 83-96.
M. Baran, W. Pleśniak, "Characterization of compact subsets of algebraic varieties in terms of Bernstein type inequalities", Studia Math. 141(2000), 221-234.
P. Borwein i T. Erd'elyi, "Polynomials and polynomial inequalities", Springer Verlag, New York 1996.
L. P. Bos, A. Brudnyi, N. Levenberg, V. Totik, "Tangential Markov inequalities on transcendental curves", Constructive Approximation 19(2003), nr 3, 339-354.
L. Bos, N. Levenberg, P. Milman, B. A. Taylor, Tangential Markov inequalities characterize algebraic submanifolds of R^N", Indiana Univ. Math. Journal 44(1995), nr 1, 115-138.
L. Bos, N. Levenberg, P. Milman, B. A. Taylor, "Tangential Markov inequalities on real algebraic varieties", Indiana Univ. Math. J. 47(1998), 1257-1272.
L. P. Bos, N. Levenberg i B. A. Taylor, "Characterization of smooth, compact algebraic curves in R^2", in: Topics in Complex Analysis, P. Jakóbczak and W. Pleśniak (eds.), Banach Center Publ. 31, Inst. Math., Polish Acad. Sci., Warszawa, 1995, 125-134.
E. W. Cheney, "Introduction to Approximation Theory", Mc Grow-Hill Book Comp., New York 1966.
L. Gendre, "In'egalit'es de Marcov tangentielles locales sur les courbes alg'ebriques singuli'eres de R^n", Ann. Polon. Math. 86(2005), 59-77.
P. Goetgheluck, "In'egalit'e de Markov dans les ensembles efill'es", J. Approx. Theory 30(1980), 149-154.
P. Goetgheluck, "Markov's Inequality on Locally Lipschitzian compact subsets of R^N in L^p-spaces", J. Approx. Theory 49(4)(1987), 303-310.
P. Goetgheluck, "On the Markov Inequality in L^p-spaces", J. Approx. Theory 62(2)(1990), 197-205.
E. Hille, G. Szego, J. Tamarkin, "On some generalisation of a theorem of A. Markoff", Duke Math. J 3(1937), 729-739.
M. Jędrzejowski, "Markov inequality on certain compact subset of R^2", Univ. Iagel. Acta Math. 43(2005), 93-98.
A. Kowalska, "Tangential Markov inequalites on semialgebraic curves and some semialgebraic surfaces", Ann. Polon. Math. 106(2012), 215-222.
G. V. Milanowić, T. M. Rassias, "On Markov-Duffin-Schaeffer inequalities", J. Nat. Geometry 5(1994), 29-41.
B. Milówka, "Markov's inequality and a generalized Pleśniak condition", East J. Approx. 11(2005), nr. 3, 291-300.
W. Pawłucki i W. Pleśniak, "Markov's inequality and C^{infty} functions on sets with polynomial cups", Math. Ann. 275(1986), 467-480.
W. Pleśniak, "Markov's inequality and the existence of an extension operator for C^{infty}-functions", Journal of Approximation Theory 61(1990), nr 1, 106-117.
W. Pleśniak, "Zastosowania nierówności Markowa w analizie różniczkowej", Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego, Seria II Wiadomości Matematyczne XXIX(1990), 39-46.
W. Pleśniak, "Recent progress in multivariate Markov inequality", Approximation Theory, 449-464, Monogr. Textbooks Pure Appl. Math., 212, Dekker, New York, 1998.
W. Pleśniak, "Wykłady z teorii aproksymacji", Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 2000.
W. Pleśniak, "Czebyszew, Weierstrass, Jackson, Bernstein i ich kontynuatorzy", Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego, Seria II Wiadomości Matematyczne XL(2004), 97-106
W. Pleśniak, "In'egalit'e de Markov en plusieurs variables", Int. J. Math. Math. Sci. vol. 2006, Art. ID 24549, 1-12.
D. L. Ragozin, "Polynomial Approximation On Compact Manifolds And Homogeneous Spaces', Trans. Amer. Math. Soc. 150(1970), 41-53.
D. L. Ragozin, "Constructive Polynomial Approximation on Spheres and Projective Spaces", Trans. Amer. Math. Soc. 162(1971), 157-170.
M. Zerner, "D'eveloppment en s'eries de polynomes ortonormaux des fonctions ind'efiniment diff'erentiables', C. R. Acad. Sci., S'erie I. Math'ematique 268(1969), 218-220.
A. Zygmund, "A remark on conjugate functions", Proceedings of the London Math. Soc. 34(1932), 392-400.
Refbacks
- There are currently no refbacks.
Ta praca dostępna jest na licencji Creative Commons Attribution 3.0 License.