Dynamika topologiczna widocznych punktów kratowych

Abstrakt

Przedstawiamy problem fotografa - polega on na tym, by na jednej wspólnej fotografii były widoczne twarze wszystkich członków zespołu, który stoi na kracie. Pytamy więc, które punkty kraty $\mathbb{Z}^2\subset \mathbb{R}^2$ są widoczne, gdy stoimy w środku układu współrzędnych (tzn. nie są ,,zasłonięte'' przez żaden inny punkt kratowy). Podajemy charakteryzację zbioru widocznych punktów kratowych $V$ oraz jego własności, w tym związek jednej z nich z dzetą Riemanna. Ze zbiorem $V$ stowarzyszamy topologiczny układ dynamiczny i podajemy jego własności, będące odpowiednikami części topologicznej programu badawczego zaproponowanego przez Sarnaka dla tzw. układu bezkwadratowego [15].

Topological dynamic of visible lattice points


We consider the problem of a photographer who needs to depict all members of a band standing on a lattice on a group photo. Thus, we ask, which points of the lattice $\mathbb{Z}^2\subset \mathbb{R}^2$ are visible for us when we stand in the origin that is, which points can be connected to the origin $(0,0)$ not passing through any other point of $\mathbb{Z}^2$. We give a characterization of the set of visible lattice points $V$ and list its properties, including the relation of one of them the Riemann zeta function. We associate with $V$ a topological dynamical system, explore its properties analogous to the topological part of Sarnak's program for the so-called square-free system [15].