Line arrangements and Harbourne constants

Abstrakt

Linear Harbourne constants have been introduced in [1] in connectionwith the Bounded Negativity Conjecture. These are numerical invariantsassociated to arrangements of lines. This notion depends on theconfiguration of lines: the number of lines and the number and multiplicityof points in which the lines intersect. It is well-known that certain arrangementscan be realized only over certain fields. Thus Harbourne constantsalso depend on the ground field. In this note we consider three variants ofHarbourne constants: complex, real and absolute (i.e. associated to arrangementsdefined over some field). Let H_L(K, d) be the minimum of all linearHarbourne constants of d lines defined over a field K (see Definition 1.4). Inthe present note, we will find the least number db such that H_L(C, d_b) < H_L(R, d_b). As a by-product, we establish necessary and sufficient conditions for theexistence of arrangements of up to seven real lines.

Konfiguracje prostych i stałe Harbourne’a

Liniowe stałe Harbourne’a zostały wprowadzone w [1] w związku z Bounded Negativity Conjecture. Stałe te są powiązane z konfiguracjami prostych. Konfiguracje można rozpatrywać nad dowolnym ciałem liczbowym. Pewne konfiguracje da się zrealizować geometrycznie tylko nad pewnymi ciałami. W pracy tej zajmujemy sie stałymi Harbourne’a: rzeczywistymi, zespolonymi oraz absolutnymi. Głównym wynikiem zaprezentowanym w tejpracy jest wskazanie najmniejszej liczby d_b takiej, że: H_L(C, d_b) < H_L(R, d_b). Przy okazji prowadzonych badań uzyskaliśmy i sformułowaliśmy warunek konieczny i wystarczający istnienia konfiguracji do 7 prostych rzeczywistych.